Algebra EsempiSemplificare radice quadrata di 3x( radice quadrata di 3- radice quadrata di x) Show Step 1 Applicare la proprietà distributiva. Step 2 Toccare per più passaggi... Combinare usando la regola del prodotto per i radicali. Step 3 Riscrivere utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione. Step 4 Semplificare ogni termine. Toccare per più passaggi... Estrarre i termini fuori dal radicale. Toccare per più passaggi... Combinare usando la regola del prodotto per i radicali. Elevare alla potenza di . Elevare alla potenza di . Usare la regola della potenza per combinare gli esponenti. Estrarre i termini fuori dal radicale. In questo contenuto abbiamo definito cosa siano la radice quadrata e la radice cubica di un numero: siamo arrivati a quelle definizioni cercando di invertire l’operazione di elevamento al quadrato e al cubo, rispettivamente. Il ragionamento che abbiamo fatto può essere esteso senza troppa difficoltà anche all’elevamento a una qualsiasi
potenza. Definizione Se $n$ è un numero naturale e $a$ un numero reale diverso da zero. Si chiama radice $n$-esima di $a$ quel numero reale
$b$ che ha lo stesso segno di $a$ e tale che $b^n = a$. Se $a=0$, invece, $\sqrt[n]{0} = 0$ per ogni $n$. Facciamo alcune osservazioni riguardo alla definizione che abbiamo appena dato. Proprietà fondamentali dei radicali Elenchiamo qui di seguito le principali proprietà dei radicali. Queste proprietà sono molto utili negli esercizi; mostreremo inoltre come ciascuna di
esse può essere ricondotta alle proprietà delle potenze. Per tutto il paragrafo considereremo $a$ come un numero reale qualsiasi e $n$ come un numero naturale. Prima proprietà: Quando esiste il numero $\sqrt[n]{a}$, allora: $$\left ( \sqrt[n]{a} \right )^n = a.$$ Questa proprietà ci permette, per
esempio, di svolgere immediatamente calcoli come $\left ( \sqrt[3]{5} \right )^3, \left ( \sqrt[5]{-2} \right )^5, \left ( \sqrt[2]{8} \right )^2$ senza svolgere ciò che sta tra parentesi: infatti queste espressioni sono uguali rispettivamente a $5, -2, 8$. Seconda proprietà: L’espressione $\sqrt[n]{a^n}$ ha sempre significato, per ogni scelta di $a$ e $n$. Inoltre:
Terza proprietà (proprietà invariantiva): Se $a \geq 0$ e $p,q \in \mathbb{N}$ allora: $$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}$$A parole possiamo dire il valore di un radicale con radicando non negativo non cambia, se moltiplichiamo l’indice del radicale ($n$) e l’esponente del radicando ($m$) per lo stesso numero naturale positivo $p$. Facciamo alcune osservazioni.
Operazioni tra radicali
Divisione tra radicali: Il quoziente di due radicali con radicandi $a$ positivo o nullo e $b$ positivo e con lo stesso indice $n$ è uguale al radicale che ha come indice $n$ e come radicando il quoziente $\frac{a}{b}$. Con una formula: $$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad \text{se }a \geq 0, b > 0$$Anche in questo caso dobbiamo chiedere che $a$ e $b$ non siano negativi per lo stesso motivo che abbiamo esposto riguardo al prodotto tra radicali. Inoltre $b$ deve essere preso non nullo perché si trova a denominatore. Infine, anche la divisione tra radicali funziona così grazie alle proprietà delle potenze (in maniera del tutto analoga a quanto accadeva per il prodotto dei radicali). Elevamento a potenza di un radicale: Se $a \geq 0$ e $m \in \mathbb{N}$, per elevare alla $m$ il radicale $\sqrt[n]{a}$ è sufficiente elevare alla $m$ il radicando. In formule: $$\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m = \sqrt[n]{a^m} \quad \text{se }a \geq 0, m \in \mathbb{N}$$Spieghiamo questa proprietà utilizzando le proprietà delle potenze: $$\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m = \left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^m = a^{\frac{m}{n}} = \left ( a^m \right )^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$$ Radice di un radicale: Se $a \geq 0$, la radice $m$-esima di $\sqrt[n]{a}$ è uguale al radicale che ha lo stesso radicando e indice uguale al prodotto $m \cdot n$. In formule $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \quad \text{se }a \geq 0, m \in \mathbb{N}$$Anche questa volta, il motivo per cui vale questa proprietà è riconducibile alle proprietà delle potenze: $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}} = \sqrt[mn]{a}$$ Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino Come si fa una radice per una radice?Radice per radice con indici uguali
Moltiplicando una radice per un'altra radice con lo stesso indice si ottiene una nuova radice avente: - come indice l'indice di partenza; - come radicando il prodotto dei radicandi.
Come si fa la moltiplicazione tra due radici?Per far ciò è sufficiente: - calcolare il minimo comune multiplo tra gli indici dei due radicali; - dividere il minimo comune multiplo per l'indice di partenza di ciascun radicale, ed elevare i radicandi ai rispettivi quoti ottenuti.
Come si moltiplicano due radici quadrate?Il prodotto di radici quadrate è uguale alla radice del prodotto dei due radicandi. Quando dobbiamo calcolare il prodotto di due radici che non sono quadrati perfetti, oppure la radice di numeri molto grandi, è utile scomporre il numero in fattori e poi usare il prodotto tra radici quadrate.
Quanto fa la radice di 3?La radice quadrata di 3 vale approssimativamente 1,732 e si indica con √3; la radice di 3 è un numero irrazionale, ossia un numero decimale illimitato e non periodico, che dunque non può essere scritto sotto forma di frazione.
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