Come risolvere un sistema a tre incognite

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Sistemi lineari

In questa scheda vediamo degli esercizi su come risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite. L’obiettivo sarà quello di utilizzare i vari metodi destinati a risolvere i sistemi lineari visti nelle precedenti lezioni:

• metodo di sostituzione;
• metodo del confronto;
• il metodo di riduzione;
• la regola di Cramer.

Per ciascun sistema vedremo l’utilizzo di più metodi risolutivi. In tal modo potremo farci un’idea dei vantaggi e degli svantaggi di ciascun metodo che abbiamo a disposizione per risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

Cominciamo allora subito a risolvere insieme un po’ di sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite. Via! 🙂

NOTA: per verificare i vostri esercizi sui sistemi lineari, vi ricordo il tool: risolvere i sistemi di equazioni e disequazioni online. 😉

Risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite con i vari metodi risolutivi

Esercizio 1: metodo di sostituzione, metodo di riduzione e regola di Cramer

Risolviamo il seguente sistema lineare con vari metodi:

\[ \begin{cases}x+2y+3z=-6 \\ \\ 2x-3y-4z=15 \\ \\ 3x+4y+5z=-8\end{cases} \]

Metodo di sostituzione

Dobbiamo scegliere un’equazione e da essa ricavare un’incognita. In teoria la scelta è del tutto a piacere, tuttavia conviene orientarsi in modo da rendere più semplici i calcoli. Ricaviamo allora la ​\( x \)​ dalla prima equazione (la scelta è immediata poiché è l’unica incognita che si presenta con coefficiente unitario):

\[ \begin{cases}x=-2y-3z-6 \\ \\ 2x-3y-4z=15 \\ \\ 3x+4y+5z=-8\end{cases} \]

A questo punto sostituiamo l’espressione ricavata per ​\( x \)​ nella seconda e nella terza equazione:

\[ \begin{cases}x=-2y-3z-6 \\ \\ 2(-2y-3z-6)-3y-4z=15 \\ \\ 3(-2y-3z-6)+4y+5z=-8\end{cases} \]

Svolgiamo i prodotti:

\[ \begin{cases}x=-2y-3z-6 \\ \\ -4y-6z-12-3y-4z=15 \\ \\ -6y-9z-18+4y+5z=-8 \end{cases} \]

Sommiamo tra loro i termini simili:

\[ \begin{cases}x=-2y-3z-6 \\ \\ -7y-10z=27 \\ \\ -2y-4z=10\end{cases} \]

Osserviamo che la seconda e la terza equazione sono entrambe nelle stesse due incognite: ​\( y \)​ e ​\( z \)​. Possiamo quindi per il momento trascurare la prima equazione e ragionare soltanto con le rimanenti equazioni, come nel caso di un sistema di due equazioni in due incognite:

\[ \begin{cases} \dots \\ \\ -7y-10z=27 \\ \\ -2y-4z=10\end{cases} \]

Ricaviamo la ​\( y \)​ dalla terza equazione e sostituiamo l’espressione ottenuta nella seconda:

\[ \begin{cases} \dots \\ \\ z = -\dfrac{27}{10}-\dfrac{7}{10}\boxed{y}\\ \\ y = \dfrac{-4z}{2}-\dfrac{10}{2} \quad \rightarrow \quad y= \boxed{-2z-5} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} \dots \\ \\ z = -\dfrac{27}{10}-\dfrac{7}{10}(-2z-5)\\ \\ y=-2z-5 \end{cases} \]

Sviluppiamo per comodità fuori sistema i calcoli relativi alla seconda equazione, in modo da ricavare ​\( z \)​:

\[ \begin{align} &z = -\dfrac{27}{10}+\dfrac{\cancel{14}^{\small \displaystyle7}}{\cancel{10}_{\small \displaystyle5}}z+\dfrac{35}{10}; \\ \\ &\left(1-\dfrac{7}{5} \right)z=\dfrac{\cancel{8}^{\small \displaystyle4}}{\cancel{10}_{\small \displaystyle5}} \\ \\ & -\dfrac{2}{5}z=\dfrac{4}{5} \quad \rightarrow \quad z = -\dfrac{\cancel{4}^{\small \displaystyle2}}{\cancel{5}}\cdot \dfrac{\cancel{5}}{\cancel{2}} \quad \rightarrow \quad z=-2 \end{align} \]

Tornando al sistema possiamo ora ricavare la ​\( y \)​:

\[ \begin{cases} \dots \\ \\ z = -2\\ \\ y=-2z-5 \quad \rightarrow \quad y = -2 \cdot (-2)-5=+4-5=-1\end{cases} \]

Infine, riprendiamo la prima equazione che avevamo messo da parte in modo da ricavare la ​\( x \)​:

\[ \begin{cases}x = -2y-3z-6 \quad \rightarrow \quad x = -2\cdot(-1)-3\cdot(-2)-6=2 \\ \\ z=-2 \\ \\ y = -1\end{cases} \]

Il sistema è determinato ed abbiamo l’insieme delle soluzioni:

\[ S = \left\{\left(2, -1, -2 \right) \right\} \]

Metodo del confronto

Il metodo del confronto risulta in questo caso del tutto sconveniente. Infatti, nessuna incognita compare in tutte e tre le equazioni con lo stesso coefficiente. Effettivamente, una tale situazione si verifica molto raramente nel risolvere i sistemi lineari ​\( 3 \times 3 \)​. Tuttavia, nell’ultimo esempio di questa scheda vedremo come il metodo del confronto si riveli ben più versatile se utilizzato assieme ad altri metodi.

Metodo di riduzione

Riprendiamo per comodità il sistema di partenza:

\[ \begin{cases}x+2y+3z=-6 \\ \\ 2x-3y-4z=15 \\ \\ 3x+4y+5z=-8\end{cases} \]

Osserviamo che nella prima equazione la ​\( x \)​ compare con coefficiente ​\( 1 \)​, mentre nella seconda compare con coefficiente ​\( 2 \)​. Quello che desideriamo è fare in modo che la ​\( x \)​ abbia lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni, in modo da riuscire ad eliminare la ​\( x \)​ stessa in un’equazione a sistema.

Utilizzando il secondo principio di equivalenza moltiplichiamo la prima equazione per ​\( 2 \), quindi sostituiamo la seconda equazione nel sistema con la differenza membro a membro tra la prima equazione (ovviamente moltiplicata per ​\( 2 \)​)  e la seconda equazione:

\[ \begin{align}\times2 \\ \\ 1°-2° \\ \\\text{ } \end{align}\begin{cases}2x+4y+6z=-12 \\ \\ 2x+4y+6z-2x+3y+4z=-12-15 \\ \\ 3x+4y+5z=-8\end{cases} \]

Sommiamo i termini simili nella seconda equazione:

\[ \begin{cases}2x+4y+6z=-12 \\ \\ 7y+10z=-27 \\ \\ 3x+4y+5z=-8\end{cases} \]

Adesso desideriamo eliminare la ​\( x \)​ anche da un’altra equazione (ad esempio, la terza). In tal modo avremo due equazioni nelle sole incognite ​\( y \)​ e ​\( z \)​ e potremo ragionare come per un sistema ​\( 2 \times 2 \)​ (due equazioni in due incognite).

Osserviamo che nella prima equazione abbiamo il termine ​\( 2x \)​, mentre nella terza il termine ​\( 3x \)​. Perché si abbia lo stesso coefficiente per la ​\( x \)​ in entrambe le equazioni, bisognerà moltiplicare la prima equazione per ​\( 3 \)​ e la terza equazione per ​\( 2 \)​:

\[ \begin{align} \times3 \\ \\ \text{ } \\ \\ \times 2\end{align}\begin{cases}6x+12y+18z=-36 \\ \\ 7y+10z=-27 \\ \\ 6x+8y+10z=-16\end{cases} \]

A questo punto sostituiamo la terza equazione con la differenza tra la prima equazione e la terza:

\[ \begin{align} \text{ } \\ \\ \text{ } \\ \\ 1°-3°\end{align}\begin{cases}6x+12y+18z=-36 \\ \\ 7y+10z=-27 \\ \\ 6x+12y+18z-6x-8y-10z=-36+16\end{cases} \]

Sommando i termini simili nella terza equazione otteniamo:

\[ \begin{cases}6x+12y+18z=-36 \\ \\ 7y+10z=-27 \\ \\ 4y+8z=-20\end{cases} \]

Ora la seconda e la terza equazione sono entrambe nelle sole incognite ​\( y \)​ e ​\( z \)​. Mettiamo allora da parte la prima equazione e ragioniamo come se il sistema fosse del tipo ​\( 2 \times 2 \)​:

\[ \begin{cases} \dots \\ \\ 7y+10z=-27 \\ \\ 4y+8z=-20\end{cases} \]

Potremmo ricavare le due incognite utilizzando il metodo di sostituzione, ma questo si rivela in questo caso piuttosto scomodo.

Proviamo allora ad applicare ancora il metodo di riduzione. Eliminare un’incognita appare al momento complicato. Proviamo allora semplicemente a ricavare una nuova equazione in due incognite, ad esempio sostituendo la seconda equazione con la differenza tra la seconda e la terza equazione:

\[ \begin{align}\text{ } \\ \\ 2°-3° \\ \\ \text{ } \end{align}\begin{cases} \dots \\ \\ 7y+10z-4y-8z=-27+20 \\ \\ 4y+8z=-20\end{cases} \]

Sommando i termini simili:

\[ \begin{cases} \dots \\ \\ 3y+2z=-7 \\ \\ 4y+8z=-20\end{cases} \]

Ora moltiplichiamo la seconda equazione per ​\( 4 \)​:

\[ \begin{align}\text{ } \\ \\ \times4 \\ \\ \text{ } \end{align}\begin{cases} \dots \\ \\ 12y+8z=-28 \\ \\ 4y+8z=-20\end{cases} \]

Ora sottraiamo alla seconda equazione la terza equazione, in modo da eliminare la ​\( z \)​. Sostituiamo l’equazione così ottenuta al posto della terza equazione nel sistema:

\[ \begin{align}\text{ } \\ \\ \text{ } \\ \\ 2°-3° \end{align}\begin{cases} \dots \\ \\ 12y+8z=-28 \\ \\ 12y+\cancel{8z}-4y-\cancel{8z}=-28+20\end{cases} \]

Otteniamo:

\[ \begin{cases} \dots \\ \\ 12y+8z=-28 \\ \\ 8y=-8\ \quad \rightarrow \quad y=-1\end{cases} \]

A questo punto ricaviamo la ​\( z \)​:

\[ \begin{cases} \dots \\ \\ 12y+8z=-28 \quad \rightarrow \quad z=-\dfrac{28}{8}-\dfrac{12}{8}\cdot (-1) \quad \rightarrow \quad z = -2 \\ \\y=-1\end{cases} \]

Riprendendo la prima equazione ricaviamo infine la ​\( x \)​:

\[ \begin{align} &6x+12y+18z=-36; \\ \\ &6x=-36-12y-18z; \\ \\ &x = -6-2y-3z; \\ \\ & x = -6 -2 \cdot (-1)-3(-2); \\ \\ &x = 2 \end{align} \]

Ritroviamo così di nuovo l’insieme delle soluzioni:

\[ S = \left\{\left(2, -1, -2 \right) \right\} \]

Regola di cramer (o metodo di cramer)

Riprendiamo sempre per comodità il sistema di partenza:

\[ \begin{cases}x+2y+3z=-6 \\ \\ 2x-3y-4z=15 \\ \\ 3x+4y+5z=-8\end{cases} \]

Il sistema è già in forma normale (non ci sono termini simili, incognite solo al primo membro e termini noti solo al secondo, incognite in ordine alfabetico). Inoltre tutti i coefficienti sono diversi da zero. Possiamo dunque procedere subito al calcolo del determinante matrice dei coefficienti:

\[ D = \det \begin{bmatrix}1 &2 & 3 \\ 2 &-3 &-4 \\ 3 &4 &5 \end{bmatrix} \]

Applichiamo la regola di Sarrus. Affianchiamo a destra della matrice le sue prime due colonne, ripetendole:

\[ \begin{bmatrix}1 &2 & 3 \\ 2 &-3 &-4 \\ 3 &4 &5 \end{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 &-3 \\ 3 &4 \end{matrix} \]

Ricordiamoci che dobbiamo sommare i prodotti dei termini in diagonale. Abbiamo tre diagonali con segno intrinseco positivo (quelle che dall’alto verso il basso procedono da sinistra verso destra) e tre diagonali con segno intrinseco negativo (quelle che dall’alto verso il basso procedono invece verso sinistra):

\[ \begin{align} &D = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 2 \cdot (-4) \cdot 3 +3 \cdot 2 \cdot 4 – 2 \cdot 2 \cdot 5 – [1 \cdot (-4) \cdot 4]-[3 \cdot (-3) \cdot 3] = \\ \\ & = -15-24+24-20+16+27=\\ \\ & = -39+24-4+27 = 8 \neq 0 \quad \rightarrow \quad \text{Sistema determinato} \end{align} \]

Il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo e quindi il sistema è determinato, ovvero ammette una soluzione unica, data da una terna di valori delle incognite.

Ricaviamo i determinanti ​\( D_x \)​, ​\( D_y \)​ e ​\( D_z \)​. Ciascuno di essi è il determinante della matrice che si ottiene sostituendo i coefficienti dell’incognita corrispondente (che si trovano in colonna) con la colonna dei termini noti nel sistema:

\[ \begin{cases}x+2y+3z=\mathbf{-6} \\ \\ 2x-3y-4z=\mathbf{15} \\ \\ 3x+4y+5z=\mathbf{-8}\end{cases} \]

Calcoliamo il determinante ​\( D_x \)​ (per brevità non indichiamo esplicitamente la matrice con le colonne aggiunte, ma la regola da seguire è la stessa utilizzata per il calcolo del determinante ​\( D \)​):

\[ \begin{align} &D_x  = \det \begin{bmatrix}\mathbf{-6} &2 & 3 \\ \mathbf{15} &-3 &-4 \\ \mathbf{-8} &4 &5 \end{bmatrix} = \\ \\ & = \small{-6 \cdot (-3)\cdot 5 + 2 \cdot (-4) \cdot (-8) + 3 \cdot 15 \cdot 4 – 2 \cdot 15 \cdot 5 -[(-6)\cdot(-4) \cdot 4] -[3 \cdot (-3) \cdot (-8)] }= \\ \\ & = 18 \cdot 5 + 64 +180 -150-(24 \cdot 4)-(24 \cdot 3) = \\ \\ &= 90+64+180-150-96-72 = 16 \end{align} \]

Procedendo allo stesso modo:

\[ D_y = \det \begin{bmatrix}1 &\mathbf{-6} & 3 \\ 2 & \mathbf{15} &-4 \\ 3 &\mathbf{-8} &5 \end{bmatrix}= -8 \]

e infine:

\[ D_z = \det \begin{bmatrix}1 &2 & \mathbf{-6} \\ 2 &-3 &\mathbf{15} \\ 3 &4 &\mathbf{-8 }\end{bmatrix}= -16 \]

A questo punto possiamo ricavare i valori delle incognite, utilizzando le formule della regola di Cramer per i sistemi di tre equazioni in tre incognite:

\[ \begin{align}&x = \dfrac{D_x}{D}=\dfrac{16}{8}=2 \\ \\ &y = \dfrac{D_y}{D}=\dfrac{-8}{8}=-1 \\ \\ &z = \dfrac{D_z}{D}=\dfrac{-16}{8} =-2\end{align} \]

e ritroviamo anche in questo caso l’insieme delle soluzioni:

\[ S = \left\{\left(2, -1, -2 \right) \right\} \]

Esercizio 2: metodo di riduzione, metodo del confronto, regola di Cramer

Risolviamo il sistema:

\[ \begin{cases}x+y+z = 0 \\ \\ x+y=3 \\ \\ y+z=1 \end{cases} \]

Metodo di riduzione

In questo caso il metodo di riduzione è il più veloce. Infatti, nelle prime equazioni abbiamo ben due incognite con lo stesso coefficiente. L’idea allora è quella di sottrarre la seconda equazione alla prima equazione, in modo da eliminare le incognite ​\( x \)​ e ​\( y \)​ in un colpo solo:

\[ \begin{align} 1°-2° \\ \\ \text{ } \\ \\ \text{ } \end{align} \begin{cases} \cancel{x}+\cancel{y+}z-\cancel{x}-\cancel{y}=0-3 \\ \\ x+y = 3 \\ \\ y + z = 1\end{cases} \]

Dalla prima equazione ricaviamo subito l’incognita ​\( z \)​. Sostituendo il valore della ​\( z \)​ nella terza equazione ricaviamo la ​\( y \)​, e infine sostituendo il valore della ​\( y \)​ nella seconda equazione ricaviamo la ​\( x \)​:

\[ \begin{cases}z = -3 \\ \\x = 3-y \quad \rightarrow \quad x= 3-4 \quad \rightarrow \quad x = -1 \\ \\ y = 1-z \quad \rightarrow \quad y =1 -(-3) \quad \rightarrow \quad y = 4 \end{cases} \]

Otteniamo così la soluzione per il sistema:

\[ S = \left\{\left(-1, 4, -3 \right) \right\} \]

Metodo del confronto

Poiché nel sistema:

\[ \begin{cases}x+y+z = 0 \\ \\ x+y=3 \\ \\ y+z=1 \end{cases} \]

l’incognita ​\( y \)​ compare con lo stesso coefficiente in tutte e tre le equazioni, possiamo applicare in modo conveniente il metodo del confronto.

Ricaviamo la ​\( y \)​ da tutte e tre le equazioni:

\[ \begin{cases} y = -x-z \\ \\ y = 3-x \\ \\ y = 1-z \end{cases} \]

Confrontiamo le espressioni nella prima e terza equazione:

\[ \begin{cases} y = \boxed{-x-z} \\ \\ y = 3-x \\ \\ y = \boxed{ 1-z } \end{cases} \]

Uguagliando i due membri evidenziati otteniamo l’equazione:

\[ -x-z=1-z \]

Ricordiamo, poiché abbiamo effettuato il confronto tra la prima e la terza equazione, la nuova equazione potrà sostituire nel sistema soltanto la prima o la terza equazione, ma non la seconda equazione (questa infatti non è stata usata per il confronto).

Sostituiamo questa nuova equazione al posto della prima equazione:

\[ \begin{cases}-x-z=1-z \quad \rightarrow \quad x = -1 \\ \\ y=3-x \\ \\ y = 1-z\end{cases} \]

Ora dalla seconda equazione ricaviamo la ​\( y \)​:

\[ \begin{cases}-x-z=1-z \quad \rightarrow \quad x = -1 \\ \\ y=3-(-1) \quad \rightarrow \quad y = 4 \\ \\ y = 1-z\end{cases} \]

Infine, dalla terza equazione ricaviamo la ​\( z \)​:

\[ \begin{cases}-x-z=1-z \quad \rightarrow \quad x = -1 \\ \\ y=3-(-1) \quad \rightarrow \quad y = 4 \\ \\ y = 1-z \quad \rightarrow \quad z = 1-y \quad \rightarrow \quad z = 1-4 \quad \rightarrow \quad z = -3\end{cases} \]

Ritroviamo così per le incognite gli stessi valori del precedente metodo.

Metodo di cramer

Riprendiamo il sistema iniziale:

\[ \begin{cases}x+y+z = 0 \\ \\ x+y=3 \\ \\ y+z=1 \end{cases} \]

Il sistema è in forma normale ma attenzione, dobbiamo stare attenti ai coefficienti nulli. In particolare, questi devono essere indicati esplicitamente. Si ha:

\[ \begin{cases}x+y+z = 0 \\ \\ x+y+0z=3 \\ \\ 0x+y+z=1 \end{cases} \]

Ora è possibile calcolare il determinante della matrice dei coefficienti, utilizzando la regola di Sarrus:

\[ \begin{align}&D = \det \begin{bmatrix}1 &1 &1 \\ 1 &1 &0 \\ 0 &1 &1\end{bmatrix}= \\ \\ & = 1 \cdot 1 \cdot 1 +0+1 \cdot 1 \cdot 1 -1\cdot1\cdot1-0-0=1 \neq 0 \end{align} \]

Il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero per cui il sistema è determinato. Ciò non ci stupisce perché già conosciamo questo sistema.

Ricaviamo i determinanti ​\( D_x, \: D_y, \: D_z \)​:

\[ D_x = \det \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 3 &1 &0 \\ 1 &1 &1 \end{bmatrix}=-1 \]

\[ D_y = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 &3 &0 \\ 0 &1 &1 \end{bmatrix}=4 \]

\[ D_z = \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 &1 &3 \\ 0 &1 &1 \end{bmatrix}=-3 \]

Calcoliamo infine i valori delle incognite:

\[ \begin{align}&x =\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{-1}{1}=-1; \\ \\ \quad &y = \dfrac{D_y}{D}=\dfrac{4}{1}=4; \\ \\ \quad &z= \dfrac{D_z}{D}=\dfrac{-3}{1}=-3 \end{align} \]

E ritroviamo conferma dei precedenti risultati. 😉

Esercizio 3 – metodo risolutivo misto

Finora abbiamo applicato individualmente ciascun metodo per risolvere i sistemi lineari. In questo esercizio vedremo di utilizzare invece più metodi risolutivi per lo stesso sistema. A volte questo approccio può aiutare a semplificare i calcoli.

Risolviamo il sistema:

\[ \begin{cases}2x-y+z=2 \\ \\ 3x+y+2z=3 \\ \\ x+y-z = -1 \end{cases} \]

Cominciamo con il metodo di riduzione. Sottraiamo alla seconda equazione la terza equazione, e utilizziamo l’equazione così ottenuta al posto della seconda equazione:

\[ \begin{align}\text{ } \\ \\ 2°-3° \\ \\ \text{ } \end{align}\begin{cases}2x-y+z=2 \\ \\ 3x+y+2z-x-y+z=3+1 \\ \\ x+y-z=-1 \end{cases} \]

Sommiamo i termini simili:

\[ \begin{cases}2x-y+z=2 \\ \\ 2x+3z=4 \\ \\ x+y-z=-1 \end{cases} \]

Osserviamo che nelle prime due equazioni compare lo stesso termine ​\( 2x \)​. Possiamo allora applicare il metodo del confronto, in particolare confrontando la prima e la seconda equazione. Cominciamo ad esplicitare il termine ​\( 2x \)​ in tali equazioni:

\[ \begin{cases}2x=\boxed{2+y-z} \\ \\ 2x=\boxed{4-3z} \\ \\ x+y-z=-1 \end{cases} \]

Ora uguagliamo i due membri evidenziati, e utilizziamo l’equazione così costruita come prima equazione del sistema:

\[ \begin{cases}2+y-z=4-3z \\ \\ 2x=4-3z\\ \\ x+y-z=-1 \end{cases} \]

\[ \begin{cases}y+2z=2 \\ \\ 2x = 4-3z \\ \\ x+y-z=-1\end{cases} \]

Ora ricaviamo la ​\( y \)​ dalla prima e dalla terza equazione e applichiamo ancora il metodo del confronto, utilizzando la nuova equazione come terza equazione a sistema:

\[ \begin{cases}y=2-2z \\ \\ 2x = 4-3z \\ \\ y=-1+z-x\end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = 2-2z \\ \\ 2x = 4-3z \\ \\ 2-2z=-1+z-x\end{cases} \]

Sommiamo i termini simili:

\[ \begin{cases} y = 2-2z \\ \\ 2x = 4-3z \\ \\ -3z+x=-3\end{cases} \]

Ora possiamo trascurare la prima equazione e concentrarci solo sulla seconda e la terza. Scegliamo di utilizzare il metodo di sostituzione in modo da ricavare le incognite ​\( x \)​ e ​\( z \)​. Cominciamo ricavando un’espressione per ​\( z \)​ dalla terza equazione:

\[ \begin{cases} y = 2-2z \\ \\ 2x = 4-3z \\ \\ -3z+x=-3 \quad \rightarrow \quad z = 1+\dfrac{1}{3}x\end{cases} \]

Ora possiamo sostituire il valore di ​\( z \)​ nella seconda equazione, in modo da ricavare la ​\( x \)​:

\[ \begin{cases} y = 2-2z \\ \\ 2x = 4-3z \quad \rightarrow \quad 2x=4-3\left(1+\dfrac{1}{3}x \right) \quad \rightarrow \quad x = \dfrac{1}{3}\\ \\ z = 1+\dfrac{1}{3}x\end{cases} \]

Ora ricaviamo la ​\( z \)​ dalla terza equazione:

\[ \begin{cases} y = 2-2z \\ \\ x = \dfrac{1}{3}\\ \\ z = 1+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} \quad \rightarrow \quad z = \dfrac{10}{9}\end{cases} \]

Infine, ricaviamo la ​\( y \)​ dalla prima equazione:

\[ \begin{cases} y = 2-2 \cdot \dfrac{10}{9} \quad \rightarrow \quad y=-\dfrac{2}{9} \\ \\ x = \dfrac{1}{3}\\ \\ z = \dfrac{10}{9}\end{cases} \]

Otteniamo così per il sistema l’insieme delle soluzioni:

\[ S = \left\{\left(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{9}, \dfrac{10}{9} \right) \right\} \]

Considerazioni finali sui metodi per risolvere i sistemi lineari 3 x 3

Per quanto riguarda questa scheda dedicata al problema di risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite direi che è tutto. Se comunque volete allenarvi un altro po’, è anche disponibile questa scheda: ulteriori esercizi sui sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

Come abbiamo visto, la scelta del miglior metodo risolutivo è abbastanza soggettiva. Il metodo di riduzione appare il più versatile, ma in alcuni casi anche gli altri metodi hanno i loro vantaggi.

Il metodo di Cramer è il più meccanico, ovvero quello che richiede meno ragionamento, tuttavia ci sono diverse cose alle quali prestare attenzione. Anzitutto, bisogna scrivere correttamente le matrici da usare per il calcolo dei determinanti. E nei calcoli bisogna stare particolarmente attenti ai segni. Inoltre, il sistema deve essere in forma normale e bisogna indicare esplicitamente i coefficienti nulli. Il pericolo da scongiurare è quello di scambiare inavvertitamente i coefficienti di differenti incognite tra loro.

Il metodo di sostituzione è quello più facile da capire e da applicare, ma è un po’ troppo macchinoso per i sistemi ​\( 3 \times 3 \)​ ed ha il difetto a volte di rendere i calcoli troppo complicati.

Per i risolvere i sistemi lineari ​\( 3 \times 3 \)​ il metodo del confronto si presta soltanto raramente a poter essere utilizzato in modo conveniente. Infatti, per ricavare tutte e tre le incognite con questo metodo, il caso ideale è quello nel quale abbiamo tre termini contenenti una data incognita tutti uguali tra loro. Tuttavia, il metodo del confronto può essere utile se affiancato agli altri metodi. In tal caso, questo potrà essere adottato ogni volta che in almeno due equazioni compare un termine in una data incognita con lo stesso coefficiente. Le considerazioni fatte ovviamente sottintendono che il sistema sia in forma normale, o quanto meno che non presenti termini tra loro simili contenenti le incognite.

Infine, talvolta il testo dell’esercizio assegnato ci obbliga ad utilizzare un dato metodo, per cui in questi casi la scelta è evidentemente condizionata. Anche in virtù di questa ragione è bene aver familiarità con tutti e quattro i metodi per risolvere i sistemi lineari.

Ciao a tutti! 🙂